Заработало!
Ошибка заключалась в том, что в коде необходимо было дописать от кого подключаемся к Reporting Services. Так как у нас Асинхронный сервис был запущен от имени
NT AUTHORITY\Network service, то и к Reporting Services он пытался подключиться от этого же имени. То есть просто добавил строчку:
rs.Credentials = new System.Net.NetworkCredential("username", "password", "domain");
Осталось сделать, чтобы параметр для отчёта брался с самой формы ЗАКАЗ.