Спасибо за ответ, но мне это не помогло
В том как раз и проблема, что права у пользователя есть, и "Выполнить задание бизнес-процесса", и "Системное задание"-права на чтение/запись/добавление для себя.
Сам процесс имеет галочку "запускать по требованию".
Другие пользователи (с теми же правами!!!) запускают этот процесс.
Может быть, здесь проблема в каких-то настройках эксплорера?